Jumlahdua bilangan asli x dan y sama dengan 300. Fungsi P ditentukan sebagai P = x x y^2. a. Nyatakan P sebagai fungsi x. b. Tentukan nilai x dan y supaya nilai P sebesar-besarnya. Kemudian, tentukan nilai P yang terbesar. 7.5; Turunan; KALKULUS; Matematika Materi olimpiade matematika SMP adalah materi sekolah SMP dan pendalamannya ditambah dengan beberapa materi baru yang bisa saja tidak di ajarkan pada jenjang smp. Secara umum, ada 4 bidang yang diujikan dalam olimpiade matematika yaitu Aljabar, Teori Bilangan, Geometri, serta Peluang dan Statistika. Adapun Pokok bahasan yang diberi perhatian khusus yang biasanya dijadikan sebagai bahan dalam membuat soal-soal osn, dapat dilihat pada penjelasan di bawah ini. 1. Teori Bilangan Sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan bulat. Pembagian Bersisa Sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan rasional Sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan real. - Klasifikasi bilangan bulat, pecahan, rasional, irrasional - Merasionalkan bentuk akar. FPB dan KPK 2. AljabarHimpunan - Himpunan bagian - Operasi dua himpunan Fungsi - Pengertian fungsi - Sifat-sifat fungsi secara umum Perbandingan - Perbandingan senilai - Perbandingan berbalik nilai Faktorisasi suku aljabar - Bentuk a2 - b2 = a + ba - b - Bentuk a + bn Persamaan garis lurus Pertidaksamaan linier satu variabel Sistem persamaan linier dua variabel Eksponen dan logaritma Pola bilangan Persamaan kuadrat 3. Geometri Bangun datar - Segi-n dan lingkaran - Garis tinggi dan garis berat segitiga - Titik berat segitiga Bangun ruang - Volume tabung, kerucut dan bola - Volume tabung dan kerucut terpancung - Luas selimut tabung, kerucut dan bola - Luas selimut tabung dan kerucut terpancung Dalil Pythagoras Trigonometri 4. Peluang dan StatistikaPeluang kejadian Ukuran pemusatan 5. Kapita Selekta Penggunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari Kemampuan menyerap materi baru definisi baru Untuk seleksi tingkat kabupaten/kota, materi yang diujikan adalah semua materi di atas namun dengan kedalaman yang dangkal yakni problem solving nya masih sedikit, sedangkan untuk seleksi tingkat propinsi problem solving dituntut lebih tajam yakni sebagian besar soal merupakan soal yang tidak rutin. Sedangkan Untuk tingkat nasional, soal yang diujikan benar-benar soal yang tidak rutin, soal yang menuntut problem solving benar-benar sangat kental dan untuk menyelesaikan soal tersebut dibutuhkan kreativitas dan pengalaman yang mumpuni. Dalam postingan kali ini, kelasmat akan mencoba menyajikan soal-soal yang mengacu pada uraian diatas khusus untuk Bab Materi Aljabar. dimana soal-soal yang kelasmat sajikan berikut ini merupakan hasil mengumpulkan dari berbagai sumber. Aljabar adalah materi dasar yang digunakan untuk memahami bidang-bidang lainnya. Materi ini sebagian besar sudah dipelajari di sekolah materi-materi rutin. Dengan demikian, di sini kita hanya perlu memperdalam pengetahuan dan teknik dalam penyelesaian soal nyata di olimpiade atau osn matematika smp. Namun, Dalam memahami materi-materi aljabar, kita tidak bisa terlepas dari materi persamaan. Oleh karena itu, diharapkan pembaca sudah menguasai persamaan yang telah dipelajari di sekolah yaitu teknik-teknik menyelesaikan persamaan ataupun sistem persamaan seperti metode grafik, metode subtitusi, dan metode eliminasi serta perlu juga mempelajari teknik-teknik penyelesaian tidak rutin selain tiga teknik tersebut. Persamaan dan pertidaksamaan Contoh Soal 1 Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c = .... OSP 2004 Jawaban Kalau kita jumlah ketiga persamaan tersebut, maka akan didapat a + b + b + c + c + a = 1 + 2 + 3 \ \Leftrightarrow \ 2a + 2b + 2c = 6 \ \Leftrightarrow \ 2a + b + c = 6 Jadi a + b + c = 3 Contoh Soal 2 Buktikan bahwa jika \a > 2\ dan \b > 3\ maka \ab + 6 > 3a + 2b\ OSN 2003 Jawaban Karena \a > 2\ dan \b > 3\ maka \a - 2 > 0\ dan \b - 3 > 0\, sehingga a - 2b - 3 > 0 \ \Leftrightarrow \ ab - 3a - 2b + 6 > 0 \ \Leftrightarrow \ ab + 6 > 3a + 2b .............TerbuktiFungsi Contoh Soal 3 Diberikan fungsi kuadrat fx = ax2 - 3x + c. jika f1 = 4 dan f2 = 7 maka f-1 = . . . . Jawaban jika f1 = 4, \ \Leftrightarrow \ a - 3 + c = 4 \ \Leftrightarrow \ a + c = 7, sehingga f-1 = a + 3 + c = a + c + 3 = 10 jadi nilai f-1 = 10. Faktorisasi Bentuk Aljabar Contoh Soal 4 Jika \\frac{{{{y - x}^2}}}{{z - x}} - \frac{{{{y - z}^2}}}{{z - x}} = y - z~dan~x \ne z\, maka nilai y = . . .OSP 2009 Jawaban \ y - z = \frac{{{{y - x}^2}}}{{z - x}} - \frac{{{{y - z}^2}}}{{z - x}}\ \ \Leftrightarrow y - z = \frac{{{{y - x}^2} - {{y - z}^2}}}{{z - x}}\ \ \Leftrightarrow y - z = \frac{{\{ y - x - y - z\} \{ y - x + y - z\} }}{{z - x}}\ \ \Leftrightarrow y - z = \frac{{y - x - y + zy - x + y - z}}{{z - x}}\ \ \Leftrightarrow y - z = 2y - x - z\ Sehingga di dapat y = x Kuadrat sempurna dan Persamaan Kuadrat Contoh Soal 5 Diketahui bahwa \x + \frac{1}{x} = 7\. Tentukan nilai A agar \\frac{{A{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \frac{5}{6}\ .OSN 2007 Jawaban Dari \x + \frac{1}{x} = 7\ diperoleh \{7^2} = {\left {x + \frac{1}{x}} \right^2} = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}\ \ \Leftrightarrow 49 = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}\ sehingga \47 = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}\ dengan demikian \\frac{{A{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \frac{5}{6}\ \ \Leftrightarrow A = \frac{5}{6} \times \frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^2}}} = \frac{5}{6}\left {{x^2} + 1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right = \frac{5}{6}\left {48} \right = 40\ Jadi Nilai A = 40. Contoh Soal 6 Tentukan nilai m agar persamaan 2x2 + 2mx - m + 1x2 + mx + 1 = 0 mempunyai tepat dua solusi real. Jawaban Perhatikan bahwa 2x2 + 2mx - m + 1 = 0 memiliki Diskriminan D =2m2 - 42-m + 1 = 4m2 + 8m + 8 = 4m2 + 2m + 2 = 4m + 12 + 4 \ \ge \ 4 \ \ge \ 0 sehingga persamaan itu memiliki 2 solusi real berbeda. Dengan demikian agar persamaan 2x2 + 2mx - m + 1x2 + mx + 1 = 0 mempunyai tepat dua solusi real berbeda, haruslah persamaan x2 + mx + 1 tidak memiliki solusi real, atau dengan kata lain memiliki D < 0, yakni m2 - 4 < 0 \ \Leftrightarrow \ -2 < m < 2. Jadi nilai m yang dimaksud adalah -2 < m < 2. Ketaksamaan Contoh 7 Jumlah dua bilangan sama dengan 12. Hasil kali dua bilangan tersebut nilainya akan paling besar jika salah satu bilangannya adalah ...... OSK 2003 Jawaban Misal salah satu bilangan tersebut adalah 12 - x . Dengan demikian hasil kalinya adalah x12 - x = 12x - x2 = -x2 - 12x + 36 + 36 = - x-62 + 36 \ \le \ 36. Jadi nilai maksimum dari hasil perkaliannya adalah 36 dan terjadi saat x = 6. Perbandingan Contoh soal 8 Kendaraan A berjalan dengan laju 60 km/jam. Dua jam berikutnya kendaraan B berjalan dengan laju 80 km/jam berangkat dari tempat dan menuju arah yang sama. Setelah berapa jam kendaraan B menyusul kendaraan A? 2 jam 3 jam 4 jam 5 jam 6 jam Jawaban Misalkan B menyusul A setelah x. Waktu kendaraan Aa dan B berturut-turut adalah x + 2 dan x, sehingga jarak yang ditempuh kendaraan A dan B berturut-turut adalah 60x + 2 dan 80x. Kendaraan B menyusul kendaraan A terjadi saat jarak yang ditempuh B sama dengan jarak yang di tempuh A, yaitu 60x + 2 = 80x \ \Leftrightarrow \ 3x + 2 = 4x \ \Leftrightarrow \ x = 6 Jadi Kendaraan B menyusul A setelah 6 jam. Jawab e. Contoh soal 9 Tujuh ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepak bola dalam waktu 7 hari. Waktu yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola adalah ...hari. OSK 2004 Jawaban diketahui bahwa kecepatan makan 7 ekor kambing adalah \\frac{{7~lapangan}}{{7~hari}} = 1~lapangan/hari\ Sehingga kecepatan makan 1 ekor kambing adalah \\frac{1}{7}~lapangan\ akibatnya kecepatan makan 3 ekor kambing adalah \\frac{3}{7}~lapangan\ dengan demikian, rumput seluas 3 lapangan akan dihabiskan dalam waktu \\frac{3}{{\frac{3}{7}}}\ = 7 hari. Eksponen contoh soal 10. Jika \a = \sqrt {\frac{b}{{1 - b}}} \ maka b dinyatakan dalam a adalah . . . \b = 1 + {a^2}\ \b = \frac{{1 + {a^2}}}{{{a^2}}}\ \b = \frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}}}\ \b = \frac{{1 - {a^2}}}{{{a^2}}}\ \b = \frac{{{a^2}}}{{1 - {a^2}}}\ Jawaban Menurut definisi akar, maka \a = \sqrt {\frac{b}{{1 - b}}} \Leftrightarrow {a^2} = \frac{b}{{1 - b}}\ sehingga \b = 1 - b{a^2} \Leftrightarrow b = {a^2} - b{a^2} \Leftrightarrow b + b{a^2} = {a^2} \Leftrightarrow b1 + {a^2} = {a^2}\ Dengan demikian \b = \frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}}}\ jawab c. Barisan dan Deret Bilangan Contoh Soal 11. Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD.... berulang sampai tak terhingga. Huruf apakah yang menempati urutan ke 2533? OSN 2003 Jawaban Perhatikan bahwa pola di atas berulang setiap 10 suku yaitu ABBCCCDDDD. Dengan demikian, kita cukup mencari digit terakhir dari 2533. Digit terakhir dari 2533 = 32 x 27 adalah 4. Sehingga huruf yang menempati urutan ke 2533 sama dengan huruf keempat dari barisan tersebut yaitu huruf C. Contoh soal 12 Nilai dari \{2009^2} - {2008^2} + {2007^2} - {2006^2} + {2005^2} + ... + {3^2} - {2^2} + {1^2}\ adalah . . .OSP 2009 Jawaban Kita akan menggunakan pemfaktoran \{x^2} - {y^2} = x - yx + y\ S = \{2009^2} - {2008^2} + {2007^2} - {2006^2} + {2005^2} + ... + {3^2} - {2^2} + {1^2}\ = 2009-20082009+2008+2007-20062007+2006+ . . .+ 3-23+2+1 = 4017 + 4013 + . . . + 5 + 1 = 1 + 5 + 9 + ... + 4013 + 4017 Perhatikan bahwa 1 + 5 + 9 + ... + 4013 + 4017 merupakan deret aritmetika dengan a=1, b= 4 dan Un = 4017 . Dari Un = 4017 di peroleh banyaknya suku pada deret tersebut Un = a + n-1b = 4017 \ \Leftrightarrow \ 1 + n-14=4017 \ \Leftrightarrow \ 4n = 4020 \ \Leftrightarrow \ n = 1005 Jadi banyak Suku pada deret tersebut ada 1005 suku. Dengan demikian \S = \frac{1}{2}na + {u_n} = \frac{{10051 + 4017}}{2} = \frac{{10054018}}{2} = Jadi \{2009^2} - {2008^2} + {2007^2} - {2006^2} + {2005^2} + ... + {3^2} - {2^2} + {1^2}\ =
Namunapabila kita mengenalkan bilangan imajiner i, persamaan ini akan memiliki dua solusi: x=i dan x=-i. Jika kita melangkah lebih jauh, persamaan [x-3]2=-4 memiliki dua solusi bilangan kompleks: x=3+2i dan x=3-2i. x=3+2i dan x=3-2i keduanya akan disebut konjugat kompleks. Semua bilangan yang berbentuk a+bi akan disebut sebagai bilangan kompleks.
Dalam beberapa perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, suatu masalah kadang-kadang dapat diterjemahkan dalam model matematika yang berbentuk pertidaksamaan satu variabel. Pertidaksamaan satu variabel yang diperoleh dapat berbentuk Pertidaksamaan linear Pertidaksamaan kuadrat Pertidaksamaan irasional Pertidaksamaan nilai mutlak Nah, pada kesempatan kali ini kita hanya akan membahas rancangan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear + kuadrat satu variabel. Untuk itu silahkan kalian simak baik-baik penjelasan berikut ini. Selamat belajar dan semoga bisa paham. Merancang Model Matematika yang Berbentuk Pertidaksamaan Linear Jika dalam suatu masalah memuat kata-kata seperti “kurang dari”, “tidak lebih dari”, “lebih dari”, atau “tidak kurang dari”, maka merupakan indikasi bahwa masalah tersebut berkaitan dengan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan satu variabel. Setelah diketahui bahwa masalahnya merupakan model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel, selanjutnya masalah tersebut dipecahkan melalui langkah-langkah sebagai berikut. 1. Tentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai variabel pertidaksamaannya. 2. Rumuskan pertidaksamaan yang merupakan model matematika dari masalah. 3. Tentukan penyelesaian dari model matematika. 4. Berikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh. Untuk memahami bagaimana memecahkan masalah yang berkaitan dengan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel, simaklah ilustrasi berikut ini. Jumlah dua buah bilangan asli kurang dari 20. Jika bilangan pertama sama dengan 6, tentukan batas-batas bilangan yang kedua. Dari kalimat “jumlah dua buah bilangan asli kurang dari 20” merupakan indikator bahwa masalah tersebut berkaitan dengan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan satu variabel. Selanjutnya, masalah dipecahkan dengan cara sebagai berikut. Menentukan besaran dalam masalah sebagai variabel x. Bilangan pertama diketahui sama dengan 6, bilangan kedua dimisalkan sama dengan x. Merumuskan model matematika dari masalah. Berdasarkan ketentuan dalam soal, diperoleh hubungan atau ekspresi matematika sebagai berikut. 6 + x ”. Dengan ketentuan yang terdapat dalam soal, maka kita peroleh model matematika berikut. Umur Lisa > umur Muri ⇒ 5x – 2 > 2x + 4 Kemudian kita selesaian bentuk pertidaksamaan linear satu variabel di atas, yaitu sebagai berikut. 5x – 2 > 2x + 4 ⇒ 5x – 2x > 4 + 2 ⇒ 3x > 6 ⇒ x > 2 Jadi, batas-batas nilai x adalah bilangan yang lebih dari 2. Soal Cerita 4 Pak Irvan memiliki sebuah mobil box pengangkut barang dengan daya angkut tidak lebih dari 500 kg. Berat pak Irvan adalah 60 kg dan dia akan mengangkut kotak barang yang setiap kotak beratnya 20 kg. Tentukan banyak kotak maksimum yang dapat diangkut oleh pak Irvan dalam sekali pengangkutan! Jika pak Irvan akan mengangkut 115 kota, paling sedikit berapa kali kotak itu akan terangkut semua? Jawab Dari soal kita peroleh beberapa model matematika sebagai berikut a Misalnya x menyatakan banyak kota yang diangkut oleh mobil untuk sekali jalan. b Setiap kotak beratnya 20 kg, sehingga x kotak beratnya 20x kg. c Total berat sekali jalan adalah berat kotak ditambah berat pak Irvan yaitu 20x + 60. d Daya angkut mobil tidak lebih dari, sehingga kita pergunakan tanda “≤”. e Daya angkut tidak lebih dari 500 kg sehingga dari ketentuan c kita peroleh model pertidaksamaan berikut. 20x + 60 ≤ 500 Menentukan banyak kotak maksimum yang dapat diangkut dalam sekali jalan. Menentukan banyak kotak berarti sama saja dengan menentukan nilai x, yaitu dengan menyelesaikan pertidaksamaan berikut. 20x + 60 ≤ 500 ⇒ 20x ≤ 500 – 60 ⇒ 20x ≤ 440 ⇒ x ≤ 22 Dari penyelesaian tersebut, kita peroleh nilai maksimum dari x adalah 22. Dengan demikian, dalam setiap kali jalan mobil box mampu mengangkut paling banyak 22 kotak. Menentukan banyaknya keberangkatan untuk mengangkut 115 kotak Agar proses pengangkutan dilakukan sedikit mungkin minimum, maka setiap kali jalan harus bisa membawa kotak paling banyak 22 kotak. Maka kita peroleh beberapa ketentuan sebagai berikut ● Misalkan y menyatakan banyaknya keberangkatan perjalanan. ● Setiap kali jalan mengangkut 22 kotak, sehingga untuk y perjalanan akan terangkut 22y kotak. ● Akan diangkut 115 kotak, artinya untuk semua perjalanan minimal 115 kotak harus terangkut semua, sehingga kita peroleh model matematika sebagai berikut. 22y ≥ 115 Kemudian, kita selesaikan pertidaksamaan linear di atas, yaitu sebagai berikut. 22y ≥ 115 ⇒ y ≥ 115/22 ⇒ y ≥ 5,227 Dari penyelesaian y ≥ 5,227 dan y bilangan bulat positif karena menyatakan jumlah perjalanan, maka nilai minimum terkecil dari y adalah 6 bilangan bulat. Dengan demikian, paling sedikit 6 kali perjalanan untuk mengangkut 115 kotak. Soal Cerita 5 Jumlah dua bilangan tidak kurang dari 400. Jika bilangan pertama sama dengan empat kali bilangan kedua, maka tentukanlah batas-batas nilai dari kedua bilangan tersebut. Jawab Langkah pertama, kita identifkasi besaran yang belum diketahui. Besaran tersebut adalah bilangan pertama dan bilangan kedua. Selanjutnya kita misalkan bilangan pertama dan bilangan kedua sebagai variabel. Misalkan Bilangan pertama = x Bilangan kedua = y Dari soal diketahui kalau bilangan pertama sama dengan empat kali bilangan kedua, degan demikian berlaku hubungan x = 4y Selanjutnya diketahui bahwa jumlah kedua bilangan tersebut tidak kurang dari 400. Kata “Tidak kurang” dalam soal merupakan indikasi hubungan pertidaksamaan lebih besar sama dengan ≥. Itu artinya, model pertidaksamaannya adalah pertidaksamaan lebih dari sama dengan. Berdasarkan kondisi yang diketahui dalam soal, maka bentuk pertidaksamaan yang sesuai dengan soal adalah sebagai berikut ⇒ x + y ≥ 400 Karena x = 4y, maka pertidaksamaannya menjadi ⇒ 4y + y ≥ 400 ⇒ 5y ≥ 400 Selanjutnya, kita selesaikan pertidaksamaan linear tersebut dengan manipulasi aljabar yaitu dengan membagi kedua ruas dengan 5 sehingga diperoleh ⇒ 5y ≥ 400 ⇒ y ≥ 80 Karena kedua ruas sama-sama dibagi 5 bilangan positif, maka tanda pertidaksamaannya tetap. Nilai y di atas merupakan batas nilai untuk bilangan kedua. Selanjutnya kita tentukan batas nilai untuk bilangan pertama ⇒ x + y ≥ 400 ⇒ x + 80 ≥ 400 ⇒ x + 80 – 80 ≥ 400 – 80 ⇒ x ≥ 320 Jadi, batas nilai untuk bilangan pertama tidak kurang dari 80 dan batas nilai untuk bilangan kedua tidak kurang dari 320. Soal Cerita 6 Jumlah dua bilangan tidak lebih dari 120. Jika bilangan kedua adalah 10 lebihnya dari bilangan pertama, maka tentukan batas nilai untuk bilangan pertama. Jawab Sama seperti soal pertama, ada dua besaran yang tidak diketahui yaitu bilangan pertama dan bilangan kedua. Selanjutnya kita jadikan besaran tersebut sebagai variabel. Misalkan Bilangan pertama = x Bilangan kedua = y Dari soal diketahui bahwa bilangan kedua “10 lebihnya dari bilangan pertama”, maka berlaku hubungan sebagai berikut y = x + 10 Pada soal juga diketahui bahwa jumlah kedua bilangan “tidak lebih” dari 120. Kata “tidak lebih” merupakan indikasi pertidaksamaan kurang dari sama dangan ≤. Jadi, bentuk pertidaksamaan yang sesuai dengan soal adalah pertidaksamaan kurang dari sama dengan. Selanjutnya kita susun pertidaksamaannya ⇒ x + y ≤ 120 Karena y = x + 10, maka pertidaksamaannya menjadi ⇒ x + x + 10 ≤ 120 ⇒ 2x + 10 ≤ 120 ⇒ 2x + 10 – 10 ≤ 120 – 10 ⇒ 2x ≤ 110 ⇒ x ≤ 55 Jadi, batas nilai untuk bilangan pertama tidak lebih dari 55. Soal Cerita 7 Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan ukuran panjang x + 5 cm, lebar x – 2 cm, dan tinggi x cm. Tentukan model matematikan dari persamaan panjang kawat yang diperlukan dalam x. Jika panjang kawat yang digunakan seluruhnya tidak lebih dari 132 cm, tentukan ukuran maksimum balok tersebut. Jawab Agar lebih mudah memahami soal, perhatikan ilustrasi balok berikut ini. Menentukan model matematika Misalkan K menyatakan total panjang kawat yang dibutuhkan untuk membuat kerangka balok, maka total panjang kawat yang dibutuhkan adalah jumlah dari semua rusuknya, sehingga panjang K adalah sebagai berikut. K = 4p panjang + 4l lebar + 4t tinggi K = 4x + 5 + 4x – 2 + 4x K = 4x + 20 + 4x – 8 + 4x K = 12x + 12 Jadi, kita peroleh model matematika untuk panjang kawat total yaitu K = 12x + 12. Menentukan ukuran maksimum balok Panjang kawat tidak boleh lebih dari 132 cm maka model pertidaksamaannya dapat ditulis sebagai berikut. K ≤ 132 12x + 12 ≤ 132 Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan linear satu variabel tersebut, yaitu sebagai berikut. 12x + 12 ≤ 132 ⇒ 12x ≤ 132 – 12 ⇒ 12x ≤ 120 ⇒ x ≤ 10 Dari penyelesaian x ≤ 10, maka nilai maksimum dari x adalah 10. Dengan demikian, ukuran balok yaitu panjang, lebar dan tingginya adalah sebagai berikut. Panjang = x + 5 ⇔ 10 + 5 = 15 cm Lebar = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 cm Tinggi = x ⇔ 10 cm Jadi, ukuran maksimum balok adalah 15 × 8 × 10 cm. Soal Cerita 8 Jumlah dua bilangan kurang dari 80. Bilangan kedua sama dengan tiga kali bilangan pertama. Tentukan batas-batas kedua bilangan itu. Jawab Misalkan bilangan pertama x, maka bilangan kedua sama dengan 3x. Jumlah kedua bilangan itu kurang dari 80. Oleh karena itu, model matematikanya adalah sebagai berikut. x + 3x < 80 ⇔ 4x < 80 Penyelesaian model matematika ini adalah 4x < 80 ⇔ x < 20. Oleh karena itu, batas bilangan pertama tidak lebih dari 20, sedangkan bilangan kedua tidak lebih dari 60. Soal Cerita 9 Pertidaksamaan Kuadrat Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang dengan panjang 16x cm dan lebar 10x cm. Jika luasnya tidak kurang dari 40 dm2, tentukan ukuran minimum permukaan meja tersebut. Jawab Diketahui panjang permukaan meja p = 16x, lebar l = 10 x, dan luas = L. Model matematika dari luas persegi panjang adalah sebagai berikut. L = p × l L = 16x × 10x L = 160x2 Dari soal ditentukan bahwa luas tidak kurang dari 40 dm2 = cm2 sehinga pertidaksamaannya dapat ditulis sebagai berikut. L = 160x2 ≥ 160x2 ≥ Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan tersebut, yaitu sebagai berikut. 160x2 ≥ ⇒ x2 ≥ 25 ⇒ x ≥ ±5 Karena ukuran besaran tidak boleh negatif, maka nilai minimum x = 5 cm, sehingga diperoleh p = 16x cm = 165 cm = 80 cm l = 10x cm = 105 cm = 50 cm Jadi, ukuran minimum permukaan meja tersebut adalah 80 × 50 cm. Soal Cerita 10 Pertidaksamaan Kuadrat Sebuah sepeda melaju di jalan raya dengan persamaan lintasan st = t2 – 10t + 39. Jika x dalam meter dan t dalam detik, tentukan interval waktu agar sepeda itu telah menempuh jarak sekurang-kurangnya 15 meter. Jawab Sepeda itu dapat menempuh jarak sekurang-kurangnya 15 meter, artinya st ≥ 15. Jadi, model matematikanya adalah t2 – 10t + 39 ≥ 15. Model ini dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut. t2 – 10t + 39 ≥ 15 ⇒ t2 – 10t + 39 – 15 ≥ 0 ⇒ t2 – 10t + 24 ≥ 0 ⇒ t – 6t – 4 ≥ 0 ⇒ t ≤ 4 atau t ≥ 6 Dengan demikian, interval waktu agar sepeda itu telah menempuh jarak sekurang-kurangnya 15 meter adalah t ≤ 4 detik atau t ≥ 6 detik.
Distribusibinomial (binomial distribution) merupakan salah satu distribusi dengan variabel acak diskrit yang merupakan kajian dari statistika inferensial.Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menemukan kejadian yang kemungkinannya hanya ada dua seperti contoh-contoh berikut.

A. HadiannurMahasiswa/Alumni Universitas Gadjah Mada22 Januari 2022 1545Jawaban terverifikasikakak bantu jawab ya. Jawaban soal ini adalah 0 Ingat konsep bentuk umum persamaan linear satu variabel, ax + b =0 Dari soal, diketahui jumlah 2 bilangan x dan 12 sama dengan 12 dan akan dicari nilai x. Didapat x + 12=12 kedua ruas ditambah -12 x + 12 + -12 = 12 +-12 x + 0 = 0 x = 0 Dengan demikian, nilai x adalah 0. Semoga membantu ya

Jumlahdua bilangan x dan y sama dengan 20. Jika hasil kali kedua bilangan tersebut dinyatakan dengan P, maka tentukan persamaan P sebagai fungsi x. Bahasan: Diketahui:x + y = 20xy = P Ditanyakan:Persamaan P sebagai fungsi x Jawaban:x + y = 20y = 20 - xP = xyP = x(20 - x)P = 20x - x2 Jadi persamaan P sebagai fungsi x November 12, 2020
MatematikaALJABAR Kelas 7 SMPOPERASI DAN FAKTORISASI BENTUK ALJABARBentuk AljabarTulislah kalimat berikut menjadi kalimat matematika yang memuat variabel. a. Jumlah dua bilangan, x dan 12, sama dengan 12. b. 54 sama dengan 9 lebihnya dari t. c. 11 adalah hasil bagi suatu bilangan y dengan 6. d. 5 adalah seperempat dari e. Bilangan w dibagi 5 sama dengan 6. f. Keliling segitiga sama sisi adalah 16 AljabarOPERASI DAN FAKTORISASI BENTUK ALJABARALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0301x + 2^3 - 3x + 2^2 + 3x + 2 - 1 sama dengan ... A. ...x + 2^3 - 3x + 2^2 + 3x + 2 - 1 sama dengan ... A. ...0118Jika k = koefisien xy, pernyataan di bawah ini yang tidak...Jika k = koefisien xy, pernyataan di bawah ini yang tidak...0151Bentuk paling sederhana dari 23x+2y-4x-5y adalah ....Bentuk paling sederhana dari 23x+2y-4x-5y adalah .... HaloRizky, kakak bantu jawab ya :) Jawaban : 12. Perhatikan penjelasan berikut ya. Ingat jika terdapat perbandingan a : b maka : a = perbandingan a/(perbandingan a + b) x (banyak a dan b). Dimisalkan kedua bilangan tersebut adalah a dan b. Diketahui : Dua bilangan berbanding 3 : 4. Jumlah kedua bilangan itu sama dengan 28, maka a + b = 28. 3. Tentukanlah Himpunan Penyelesaian HP sistem persamaan linear dua variabel SPLDV dari x+2y=8 dan x+y=5! metode gabungan​ persegi panjang memiliki keliling 120 cm jika sisi lebar 24 cm maka panjang sisi nya​ Jangkauan data dari 6,8,3,5,4,9,9,7,5,6,3,2,1,6,7,7 adalah 8. Himpunan Penyelesaian HP sistem persamaan linear dua variabel SPLDV dari x+y=5 dan x+2y=8 adalah... ​ 1. Tentukan kesimpulan yang sah dari pernyataan-pernyataan berikut. a. Premis 1 Jika masyarakat semangat bekerja, maka daya saing tinggi. Premis 2 M … asyarakat semangat bekerja. bPremis 1 Jika tidak ada kebocoran, maka kapal tidak tenggelam. Premis 2 Kapal tenggelam. 2. C. Buktikan apakah penarikan kesimpulan berikut sah atau tidak. Premis 1 ~p=9 Premis 2 ~p ~9 p⇒ q ~9 ~p p⇒ q ~9 p a. b. C. d. Premis 1 Jika 2 + 3 > 4, maka 5 - 4 > 0. Premis 2 Jika 5 - 4 > 0, maka 5 > 4. a. Kesimpulan Premis 1 Premis 2 C. Kesimpulan Premis 1 Premis 2 Kesimpulan Premis 1 Premis 2 Kesimpulan 3. Tentukan kesimpulan yang sah dari premis-premis berikut. Premis 1 Semua manusia akan mati. Premis 2 Doni adalah manusia. ~9~p q⇒r p⇒r b Premis 1 Jika semua pohon tidak tumbang, maka angin tidak bertiup kencang. Premis 2 Jika ada pohon tumbang, maka warga masyarakat waspada. Premis 1 Jika pelayanan cepat, maka pasien senang. Premis 2 Pasien tidak senang atau cepat sembuh.​
Kalimatmatematika yang benar dari pernyataan "jumlah dua bilangan, x dan 12, sama dengan 12" adalah. 1 months ago. Komentar: 0. Dibaca: 175. Share. Like. Kiat Bagus Yang. Tentukan mean, modus, dan median dari data di atas!
jawabannya 0 karena soalnya kan jumlah 2 bilangan, x dan 12 = 12maka x + 12 = 12 x = 12-12 x = 0 vHsQ.
  • gc29mj36sv.pages.dev/435
  • gc29mj36sv.pages.dev/406
  • gc29mj36sv.pages.dev/164
  • gc29mj36sv.pages.dev/395
  • gc29mj36sv.pages.dev/333
  • gc29mj36sv.pages.dev/579
  • gc29mj36sv.pages.dev/298
  • gc29mj36sv.pages.dev/430

    • jumlah dua bilangan x dan 12 sama dengan 12